行測數量關系：“公約數”與“公倍數”問題
“公約數”與“公倍數”問題
一、什么是公約數
如果一個整數同時是幾個整數的約數，稱這個整數為它們的“公約數”，公約數中最大的稱為最大公約數。
二、什么是公倍數
指在兩個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的倍數，這些倍數就是它們的公倍數。
三、方法與技巧
兩個數最大公約數和最小公倍數的求法。
一般采用短除法，即用共同的質因數連續(xù)去除，直到所得的商互質為止。
①將共同的質因數連乘起來，就是這兩個數的最大公約數。
②將共同的質因數、各自剩余互質的質因數連乘起來，就是這兩個數的最小公倍數。
【例】求12和28的最大公約數和最小公倍數
12、28的最大公約數：2×2=4；
12、28的最小公倍數：2×2×3×7=84。
四、例題展示
【例1】有一種紅磚，長24厘米、寬12厘米、高5厘米，至少用多少塊紅磚才能拼成一個實心的正方體（ ）？
A.600塊
B.800塊
C.1000塊
D.1200塊
【答案】D【解析】由題可知，要想拼成正方體，則每條邊的長度必須是24、12、5，即120的最小公倍數。此時每條邊上需要的磚數分別是5、10、24，因此至少需要紅磚為5×10×24=1200塊。因此選擇D。
【例2】某企業(yè)員工編號為6位自然數，其中前兩位代表入職年份的最后兩位數，第3位代表所屬部門，后3位代表員工當年在部門中的入職順序。2018年入職的員工小張發(fā)現(xiàn)，自己的員工編號能同時被5、9和101整除。問當年他所在的部門最少可能有多少人入職（ ）？
A.不到250人
B.250～499人之間
C.500～749人之間
D.超過749人
【答案】B【解析】由題可知，小張18年入職，那么工號前兩位為18。又因為該他的員工編號能同時被5、9、101整除，因此，即為4545的倍數。再者，前兩位是18且是4545倍數的六位數只有181800，及其41倍的186345。最后，已知后三位為員工入職順序，故其部門18年最少有345人入職。因此選擇B。
【例3】箱子里有標號為1-10的10個球，小張隨機取了三個球并記下號碼后將球放回，小李也隨機取了三個并記下號碼。這時發(fā)現(xiàn)兩人取的球的號數之積都恰好是144。已知小張的號數之和比小李的大，那么小張取的球的號數之和是多少（ ）？
A.19
B.17
C.16
D.14
答案】A【解析】由題可知，三個小球的編號乘積均為144，那么對144進行因式分解可得：144=2×2×2×2×3×3。又因小球編號各不相等，則可得144=9×8×2=8×6×3。又因為小張的號碼數之和較大，所以之和應為9+8+2=19。因此選擇A。
公約數和公倍數的應用
一、概念區(qū)分
公約數：某個數是幾個整數共同的約數。公約數中最大的稱為最大公約數。
公倍數：在兩個或兩個以上的自然數中，它們之間相同的倍數就是它們的公倍數。這些公倍數中最小的稱為這些整數的最小公倍數。
二、根據題目特征判斷所考查知識點
公約數
【例1】桌上放有三根繩子，長度分別是120厘米、160厘米、240厘米，現(xiàn)在要把它們截成長度相等的小段，每根都不能有剩余，那么最少可截成多少段（ ）?
A.13
B.12
C.11
D.10
【答案】A【解析】要保證截成相同長度的小段，每根都不剩余，則每小段的長度必須是120、160、240的約數，要保證截成的小段最少，則每小段的長度應是120、160、240的最大公約數。120、160和240的最大公約數為40，則有120÷40=3，160÷40=4，240÷40=6，所以最少截成3+4+6=13段。故選A。
公倍數
【例2】有一個電子鐘，每走9分鐘亮一次燈，每到整點響一次鈴。中午12點整，電子鐘響鈴又亮燈。下一次既響鈴又亮燈的時刻是多少（ ）?
A.下午1點
B.下午2點
C.下午3點
D.下午4點
【答案】C【解析】每兩次亮燈的時間間隔是9分鐘的倍數;每兩次響鈴的時間間隔是60分鐘的倍數。所以，下次既響鈴又亮燈的時間間隔是9和60的最小公倍數，為180。則下次既響鈴又亮燈是12點整過180分鐘，即下午3點，故選C。
三、鞏固練習
1.甲、乙、丙三人定期到某棋館學圍棋，甲每隔3天去一次，乙每隔4天去一次，丙每隔5天去一次。若2016年2月10日三人在棋館相遇，則下次三人在棋館相遇的日期是：（ ）
A.4月8日
B.4月11日
C.4月9日
D.4月10日
【答案】D【解析】“每隔3天”即“每4天”，“每隔4天”即“每5天”，“每隔5天”即“每6天”，下次三人在棋館相遇經過的天數為4、5、6的最小公倍數60。2016年為閏年，2月有29天，從2月11日算起，2月還剩19天，3月有31天，19+31=50，則三人下次在棋館相遇的日期是2016年4月10日，故選D。
2.若A、B、C三種文具分別有38個、78個和128個，將每種文具都平均分給學生，分完后剩下2個A，6個B，20個C，則學生最多有多少人（ ）?
A.9
B.12
C.18
D.36
【答案】D【解析】每種文具都平均分給學生，分完后剩下2個A，6個B，20個C，則學生人數是38-2=36、78-6=72、128-20=108的公約數，這三個數的最大公約數是36，因此學生最多有36人。
